Penggunaan metode-metode semi-analitik untuk menyelesaikan persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, dan suatu model epidemiologis tipe SIR

Abstract

Model-model epidemiologis dikembangkan dalam rangka mempelajari dinamika penyebaran suatu penyakit. Model-model yang telah dibuat nantinya diharapkan bisa membantu para peneliti dan pemerintah dalam menanggulangi wabah penyakit tersebut. Salah satu model epidemiologis paling sederhana adalah model Susceptible-Infected-Recovered (SIR) yang diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick, di mana populasi dikelompokkan ke dalam tiga kompartemen, yaitu kompartemen rentan, kompartemen terinfeksi, dan kompartemen sembuh. Model epidemiologis ini berbentuk suatu sistem persamaan diferensial tak linear, yang sulit diselesaikan secara analitik. Namun, saat ini sudah terdapat metode-metode numerik, seperti metode Euler dan metode Runge-Kutta yang dapat membantu penyelesaian sistem persamaan diferensial tersebut. Selain itu, terdapat pula metode-metode semi-analitik, seperti metode dekomposisi Adomian, metode variasi iterasional, dan metode analisis homotopi yang akan digunakan dan saling dibandingkan performanya pada skripsi ini, untuk mengaproksimasi solusi dari suatu persamaan diferensial linear, suatu persamaan diferensial tak linear, suatu sistem persamaan diferensial, dan akhirnya model SIR Kermack-McKendrick tersebut. Karena solusi yang diperoleh dari metode-metode semi-analitik ini berbentuk deret pangkat, maka solusinya tidak selalu dapat menangkap sifat asimtotik dari solusi-solusi model epidemiologis pada umumnya. Karena itu, metode-metode semi-analitik tersebut digunakan bukan untuk memprediksi akhir dari suatu penyebaran penyakit, melainkan untuk memprediksi puncak dari penyebaran penyakit. Diperoleh bahwa metode dekomposisi Adomian dan metode analisis homotopi memberikan solusi semi-analitik yang sama pada persamaan-persamaan diferensial yang diselesaikan di skripsi ini. Solusi semi-analitik yang diperoleh dari metode transformasi diferensial juga secara umum serupa, namun akan berbeda jika persamaan diferensial yang diselesaikan memuat fungsi eksponensial. Metode iterasi variasional seringkali memberikan solusi yang paling mendekati solusi eksak, namun membutuhkan komputasi yang lebih lama daripada metode-metode lainnya.