Skema Nonstandard Finite Difference (NSFD) untuk suatu model epidemik SIR dengan vaksinasi dan laju insidensi tersaturasi

Abstract

Penyebaran penyakit dapat dipelajari dengan pemodelan matematis, salah satunya menggunakan model epidemik tipe SIR, yang membagi populasi ke dalam tiga kelas, yaitu kelas rentan (susceptible), kelas terinfeksi (infected), dan kelas pulih (recovered), serta menggunakan tingkat pemulihan konstan dan laju insidensi bi-linear pada versi paling sederhananya. Karena laju insidensi bi-linear kurang realistis saat sub-populasi manusia terinfeksi makin membesar, maka digunakan laju insidensi tersaturasi. Model yang didapatkan berbentuk sistem persamaan diferensial non-linear, sehingga solusi analitiknya sulit diperoleh. Selain itu, metode-metode numerik pada umumnya belum tentu dapat mempertahankan perilaku dinamik dari model kontinunya. Untuk mengatasi permasalahan tersebut, digunakan metode Nonstandard Finite Difference Scheme (NSFD) untuk mendiskretisasi model epidemik kontinu tipe SIR dengan laju insidensi tersaturasi tersebut. Akan diperlihatkan bahwa baik model kontinunya maupun versi diskretnya yang diperoleh dengan metode NSFD memiliki bilangan reproduksi dasar, titik kesetimbangan bebas penyakit, dan titik kesetimbangan endemik yang sama. Analisis kestabilan secara lokal dan global dari kedua jenis titik kesetimbangan tersebut dilakukan untuk kedua versi model tersebut. Analisis kestabilan lokal dari model diskret menggunakan kriteria Schur-Cohn, sedangkan analisis kestabilan global dari kedua jenis model menggunakan fungsi Lyapunov. Simulasi numerik menunjukkan bahwa versi diskret yang diperoleh dengan metode NSFD tersebut memiliki solusi dengan perilaku dinamik yang serupa dengan perilaku dinamik versi kontinunya, tanpa adanya gejala chaos. Analisis sensitivitas bilangan reproduksi dasar menunjukkan bahwa tindakan melambatkan penyebaran penyakit dengan cara menurunkan tingkat penyebaran penyakit maksimum adalah yang paling tepat untuk dilaksanakan; caranya antara lain dengan mengurangi kontak dan mobilitas.